文法的に、彼らは私や私のようなものだと思いますか？

その理由は次のとおりです。

* "like" この文では、「to」または「from」に似た前置詞として機能します。

* "i" 代名詞が文の主題である場合に使用される代名詞の主格のケースです。

* "me" 代名詞が動詞または前置詞のオブジェクトである場合に使用される代名詞の客観的なケースです。

「私」は前置詞のようなオブジェクトであるため、使用するのは正しいフォームです。