彼が宿題を続けていると言うのは正しい文法ですか？

それを言う正しい方法は次のとおりです。

* 彼は宿題を続けていました。

その理由は次のとおりです。

* 継続 動詞であり、動詞には意味をなすために直接オブジェクトまたは不定詞のフレーズが必要です。

* 動詞のオブジェクトとして「継続」として機能する不定詞のフレーズです。